Comenzó su carrera en el Sydney United, pero desde muy joven ya apuntaba mucho más allá de la Liga Australiana. Llegó al Manchester United con sólo 16 años en 1989, aunque tuvo que marcharse tres años más tarde tras jugar sólo tres encuentros oficiales.
El Aston Villa fue su destino. Con los 'villanos' alcanzó su mejor nivel, club en el que se hizo fuerte a base de grandes actuaciones durante las cuatro últimas temporadas de las siete que militó en Villa Park.
Sin embargo, su primer capítulo polémico llegó en 1996. Bosnich dedicó un saludo nazi a la afición del Tottenham, hinchada en la que la comunidad judía tenía un peso considerable.
El portero comenzó a destacar sobre el césped. Tanto fue así que el United volvió a llamar a su puerta para sustituir a Peter Schmeichel. Ahí es nada, pero el australiano no dio la talla y Fabien Barthez llegaría a Old Trafford en 2000.
Un año más tarde, y tras haber perdido la titularidad en su club y en la Selección, llegó al Chelsea. En Londres viviría el peor episodio de su carrera. Además de no terminar de hacerse con el puesto de titular, dio positivo por cocaína en 2002.
Bosnich fue cazado y no se trató de ninguna casualidad. Y es que el meta consumía 10 gramos de cocaína al día e incluso reconoció que disparó con un rifle a su padre cuando se encontraba bajo los efectos de la droga.
Por ello, el Chelsea lo sancionó durante nueve meses, llegando a rescindirle el contrato en 2003. Tras probar en el Walsall y ser nombrado entrenador de porteros del QPR, regresó a su Australia natal una vez que se enfrentó a sus problemas con la droga y la prostitución, entre otros. Fichó por el Central Coast Mariners para colgar finalmente los guantes en el Sydney Olympic en 2009.